Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
La géométrie dans l'espace
Exercice 1 : Trouver si un système à 3 équations 2 inconnues est dégénéré ou non
Quel est le type du système suivant ?
\[ \begin{cases} -4x -9y = -1 \\ 6x -7y = -9 \\ -24x -54y = 0 \end{cases} \]
Exercice 2 : Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?
Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?
- A.\( \vec{u}\left(1;-4;-4\right) \text{ et }\vec{v}\left(28;-13;20\right) \)
- B.\( \vec{u}\left(-2;-4;-1\right) \text{ et }\vec{v}\left(16;-12;10\right) \)
- C.\( \vec{u}\left(2;-4;-2\right) \text{ et }\vec{v}\left(20;10;0\right) \)
- D.\( \vec{u}\left(-4;-1;-2\right) \text{ et }\vec{v}\left(-3;12;-3\right) \)
Exercice 3 : Norme d'un vecteur dans un repère orthonormé
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le vecteur \(\overrightarrow{AB} \left(-4;5;-7\right) \).
Exercice 4 : Déterminer les équations cartésienne et paramétrique d'un cercle
Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan.
Soit un point \(M (-2;-1)\).
On nomme \(\mathcal{C}\) l'arc de cercle de centre \(M\), de rayon \(5\) et allant du point \(A (-2;-6)\) jusqu'au point \(B (-2;4)\).
Soit \(I\) un intervalle inclus dans \(\mathbb{R}\).
On se donne l'équation paramétrique suivante : \( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -2 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -1 + 5\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in I \)
Pour quel intervalle \(I\), inclus dans \(\left[- \pi ; \pi \right]\), l'équation paramétrique précédente est celle de \(\mathcal{C}\) ?
Soit un point \(M (-2;-1)\).
On nomme \(\mathcal{C}\) l'arc de cercle de centre \(M\), de rayon \(5\) et allant du point \(A (-2;-6)\) jusqu'au point \(B (-2;4)\).
Soit \(I\) un intervalle inclus dans \(\mathbb{R}\).
On se donne l'équation paramétrique suivante : \( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -2 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -1 + 5\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in I \)
Pour quel intervalle \(I\), inclus dans \(\left[- \pi ; \pi \right]\), l'équation paramétrique précédente est celle de \(\mathcal{C}\) ?
Exercice 5 : Déterminer la valeur d'un paramètre pour rendre un système dégénéré. Revient à résoudre une équation du second degré.
Déterminer l'ensemble des valeurs de \(a\) pour lesquels le système n'a PAS une unique solution.
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble. \[ \begin{cases} ax -7y = -4 \\ 2x + \left(9 + a\right)y = 3 \end{cases} \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble. \[ \begin{cases} ax -7y = -4 \\ 2x + \left(9 + a\right)y = 3 \end{cases} \]